บทนิยาม
อนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิต เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย
เมื่อ a1, a1 + d, a1 + 2d, …, a1 + (n – 1)d เป็นลำดับเลขคณิต
จะได้ a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + … + (a1 + (n – 1)d) เป็นอนุกรมเลขคณิต
ซึ่งมี a1 เป็นพจน์แรกของอนุกรม และ d เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิต จากบทนิยาม จะได้ว่า ถ้า a1, a2, a3, …, an เป็น ลำดับเลขคณิต ที่มี n พจน์ จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป a1 + a2 + a3 + … + an ว่า อนุกรมเลขคณิต
และผลต่างร่วม ( d ) ของลำดับเลขคณิต เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย
อนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิต เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย
เมื่อ a1, a1 + d, a1 + 2d, …, a1 + (n – 1)d เป็นลำดับเลขคณิต
จะได้ a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + … + (a1 + (n – 1)d) เป็นอนุกรมเลขคณิต
ซึ่งมี a1 เป็นพจน์แรกของอนุกรม และ d เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิต จากบทนิยาม จะได้ว่า ถ้า a1, a2, a3, …, an เป็น ลำดับเลขคณิต ที่มี n พจน์ จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป a1 + a2 + a3 + … + an ว่า อนุกรมเลขคณิต
และผลต่างร่วม ( d ) ของลำดับเลขคณิต เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย
ความหมายของอนุกรมเลขคณิต
กำหนด a1, a1 + d, a1 + 2d, …, a1 + (n – 1)d เป็นลำดับเลขคณิต
จะได้ a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + … + (a1 + (n – 1)d) เป็นอนุกรมเลขคณิต
ซึ่งมี a1 เป็นพจน์แรกของอนุกรม และ d เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิต d เท่ากับ
พจน์ที่ n + 1 ลบด้วยพจน์ที่ n
กำหนด a1, a1 + d, a1 + 2d, …, a1 + (n – 1)d เป็นลำดับเลขคณิต
จะได้ a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + … + (a1 + (n – 1)d) เป็นอนุกรมเลขคณิต
ซึ่งมี a1 เป็นพจน์แรกของอนุกรม และ d เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิต d เท่ากับ
พจน์ที่ n + 1 ลบด้วยพจน์ที่ n
ตัวอย่างของอนุกรมเลขคณิต
1. 1 + 3 + 5 + 7 + … + 99 เป็นอนุกรมเลขคณิต เพราะว่า 1, 3, 5, …, 99 เป็นลำดับเลขคณิต และมีผลต่างร่วมเท่ากับ 2
2. 25 + 20 + 15 + 10 + … เป็น อนุกรมเลขคณิต
เพราะว่า 25, 20, 15, 10, … เป็น ลำดับเลขคณิต
และมีผลต่างร่วมเท่ากับ – 5
การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต
ให้ Sn เป็นผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตที่มี a1 เป็นพจน์แรก และ d เป็นผลต่างร่วม
จะได้ Sn = a1 + (a1 + d) + … + [a1+(n – 2)d] + [a1+(n –1)d] ----(1)
หรือ S n= [a1 + (n –1)d] + [a1 + (n – 2)d] + … + (a1 + d) + a1 -----(2)
สมการ (1) + (2) จะได้
2Sn = [2a1 + (n –1)d] + [2a1 + (n –1)d] + … + [2a1 + (n –1)d] (n พจน์ )
2Sn = n[2a1 + (n –1)d]
เพราะว่า 25, 20, 15, 10, … เป็น ลำดับเลขคณิต
และมีผลต่างร่วมเท่ากับ – 5
การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต
ให้ Sn เป็นผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตที่มี a1 เป็นพจน์แรก และ d เป็นผลต่างร่วม
จะได้ Sn = a1 + (a1 + d) + … + [a1+(n – 2)d] + [a1+(n –1)d] ----(1)
หรือ S n= [a1 + (n –1)d] + [a1 + (n – 2)d] + … + (a1 + d) + a1 -----(2)
สมการ (1) + (2) จะได้
2Sn = [2a1 + (n –1)d] + [2a1 + (n –1)d] + … + [2a1 + (n –1)d] (n พจน์ )
2Sn = n[2a1 + (n –1)d]
เมื่อ Sn แทนผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต
a1 แทนพจน์ที่ 1, d แทนผลต่างร่วม, n แทนจำนวนพจน์ และ an แทนพจน์ที่ n
a1 แทนพจน์ที่ 1, d แทนผลต่างร่วม, n แทนจำนวนพจน์ และ an แทนพจน์ที่ n
ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวก 30 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต 1 + 4 + 7 + …
โจทย์กำหนดอนุกรมเลขคณิต 1 + 4 + 7 + …
มี a1 = 1, d = 4 – 1 = 3 ถาม S30
ดูตัวอย่างเพิ่มเติมอนุกรมเลขคณิต
<iframe width="420" height="315" src="http://www.youtube.com/embed/bnYpzADV0_Y" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
<iframe width="420" height="315" src="http://www.youtube.com/embed/9tfdNOlFBuk" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
<iframe width="420" height="315" src="http://www.youtube.com/embed/UhLsQtMlEZI" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
วีดีโอ การหารลงตัว
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น