อนุกรมเลขคณิต

บทนิยาม   
            อนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิต เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย
            เมื่อ      a₁,  a₁ + d,   a₁ + 2d,   …,    a₁ + (n – 1)d         เป็นลำดับเลขคณิต
จะได้   a₁  +  (a₁ + d)  + (a₁ + 2d)  + … + (a₁ + (n – 1)d)        เป็นอนุกรมเลขคณิต
ซึ่งมี   a₁  เป็นพจน์แรกของอนุกรม และ  d  เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิต  จากบทนิยาม  จะได้ว่า ถ้า  a₁,   a₂,   a₃,   …,   a_n   เป็น ลำดับเลขคณิต ที่มี n  พจน์ จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป   a₁  +  a₂  +  a₃ +  …  +  a_n          ว่า  อนุกรมเลขคณิต
และผลต่างร่วม ( d ) ของลำดับเลขคณิต เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย

ความหมายของอนุกรมเลขคณิต
           กำหนด          a₁,  a₁ + d,   a₁ + 2d,   …,    a₁ + (n – 1)d            เป็นลำดับเลขคณิต
จะได้   a₁  +   (a₁ + d)  +  (a₁ + 2d)   +  …  +   (a₁ + (n – 1)d)             เป็นอนุกรมเลขคณิต
ซึ่งมี   a₁  เป็นพจน์แรกของอนุกรม และ  d  เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิต   d   เท่ากับ
พจน์ที่ n + 1 ลบด้วยพจน์ที่ n

ตัวอย่างของอนุกรมเลขคณิต 

1.            1  +  3  +  5  +  7  +  …  +  99          เป็นอนุกรมเลขคณิต      เพราะว่า 1,   3,   5,   …,   99         เป็นลำดับเลขคณิต        และมีผลต่างร่วมเท่ากับ  2

       2.        25  +  20  + 15  +  10  +  …          เป็น อนุกรมเลขคณิต
                  เพราะว่า 25,   20,   15,  10,   …    เป็น ลำดับเลขคณิต 
                  และมีผลต่างร่วมเท่ากับ – 5
การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต
               ให้  S_n  เป็นผลบวก   n   พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตที่มี   a₁  เป็นพจน์แรก และ  d    เป็นผลต่างร่วม
               จะได้    S_n  = a₁  +   (a₁ + d)  +  … +  [a₁+(n – 2)d]  +   [a₁+(n –1)d]      ----(1)
              หรือ        S _n= [a₁ + (n –1)d]  +  [a₁ + (n – 2)d]  + …  +  (a₁ + d)    +   a₁   -----(2)
              สมการ (1) + (2)  จะได้
                 2S_n    =       [2a₁ + (n –1)d]  +  [2a₁ + (n –1)d] + … + [2a₁ +  (n –1)d]  (n  พจน์ )
                 2S_n     =       n[2a₁ +  (n –1)d]

เมื่อ      S_n         แทนผลบวก  n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต                       
            a₁         แทนพจน์ที่ 1,  d แทนผลต่างร่วม,  n แทนจำนวนพจน์  และ a_n แทนพจน์ที่ n

ตัวอย่างที่ 1  จงหาผลบวก  30  พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต   1  +  4  +  7   +   …

                                           โจทย์กำหนดอนุกรมเลขคณิต  1  +  4  +  7  +  … 

 มี a₁  =  1,  d  =  4  – 1   =  3     ถาม   S₃₀

ดูตัวอย่างเพิ่มเติมอนุกรมเลขคณิต

<iframe width="420" height="315" src="http://www.youtube.com/embed/bnYpzADV0_Y" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>

<iframe width="420" height="315" src="http://www.youtube.com/embed/9tfdNOlFBuk" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>

<iframe width="420" height="315" src="http://www.youtube.com/embed/UhLsQtMlEZI" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>

                              วีดีโอ การหารลงตัว

อัตราส่วนและร้อยละ

อัตราส่วน  หมายถึง  การเปรียบเทียบปริมาณ  ของสิ่งของตั้งแต่สองสิ่งขึ้นไป

ตัวอย่าง  1.  ต้นมีสมุด  2  เล่ม  และหนังสือ  3  เล่ม

อัตราส่วนของจำนวนสมุดต่อจำนวนหนังสือที่ต้นมีเป็น  2:3  อ่านว่า  2  ต่อ  3  อาจเขียนในรูปเศษส่วนว่า  2/3

2.  ค่าจ้างทำงานชั่วโมงละ  50  บาท

อัตราส่วนคือ  1:5            อัตราส่วน  a : b หรือ a : b มี a เป็นจำนวนแรก  หรือ  จำนวนที่หนึ่ง  และ b เป็นจำนวนหลัง หรือ จำนวนที่สอง          ในการเขียนอัตราส่วนแสดงการเปรียบเทียบ  ถ้าเป็นการเปรียบเทียบปริมาณสิ่งของอย่างเดียวกัน  แต่ใช้หน่วยต่างกัน  ควรเขียนหน่วยกำกับไว้ด้วย  ถ้าเป็นการเปรียบเทียบปริมาณสิ่งของอย่างเดียวกัน  แต่มีหน่วยเหมือนกัน  ไม่จำเป็นต้องเขียนหน่วยกำกับไว้

อัตราส่วนที่เท่ากัน  หมายถึง  อัตราส่วนตั้งแต่สองอัตราส่วนขึ้นไป  ที่เมื่อทำให้เป็นอัตราส่วนอย่างต่ำแล้วจะมีค่าเท่ากัน            ตัวอย่าง       รถจักรยานคันหนึ่งวิ่งด้วยอัตราเร็ว  20  กิโลเมตรต่อชั่วโมง

อัตราส่วนของเวลาที่ใช้วิ่ง  ต่อระยะทาง เป็นดังนี้

1:60  ,  2:120  ,  3:180   ,   4:240  ,  5:300   ,  …

อัตราส่วนทั้งหมดเป็นอัตราส่วนที่แสดงอัตราส่วนเดียวกัน  เรียกอัตราส่วนดังกล่าวว่า  อัตราส่วนที่เท่ากัน

การเปลี่ยนอัตราส่วนเป็นร้อยละ

การเขียนอัตราส่วนให้อยู่ในรูปร้อยละ  ต้องเขียนอัตราส่วนนั้นให้อยู่ในรูปอัตราส่วนที่มีจำนวนหลังของอัตราส่วนเป็น  100             ตัวอย่าง    จงเขียนอัตราส่วนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปร้อยละ                                         9 : 20   =   9/20                                                      =  9 x 5 / 20 x 5                                                      = 45/100                                                      =  45  %

การเปลี่ยนร้อยละเป็นอัตราส่วน

การเขียนร้อยละในรูปอัตราส่วน  เขียนได้โดยนำค่าร้อยละ หรือเปอร์เซ็นต์ที่โจทย์กำหนดมาให้  มาเขียนให้ส่วนเป็น  100  หรือนำค่าร้อยละนั้นมาเขียนเป็นอัตราส่วนโดยให้จำนวนหลัง(จำนวนที่  2)  เป็น  100            ตัวอย่าง    จงเขียนร้อยละต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปอัตราส่วน                                          9 %      =   9/100                                       หรือ         =  9 : 100                                         5  %      =  5/100                                                      =  1/20                                       หรือ         =  1:20

ตัวอย่างที่  1  โต๊ะรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีด้านยาว  240  เมตร  ถ้าอัตราส่วนของด้านยาวต่อด้านกว้างเป็น  3:2โต๊ะตัวนี้กว้างเท่าไร

วิธีทำ   ให้โต๊ะกว้าง  a  เมตร

อัตราส่วนความยาวของด้านยาวต่อความยาวของด้านกว้าง  คือ  240:a

เขียนสัดส่วนคือ   240/a  =  2/3

a  =  ( 2X240)/3

a  =  160

ดังนั้น  โต๊ะกว้าง       160   เมตร

ตัวอย่างที่ 2  ฟาร์มเป็ดแห่งหนึ่งเก็บไข่ได้วันละ  280 ฟอง  คิดเป็น  80%  ของจำนวนเป็ดทั้งหมด  ถ้าเป็ด   1  ตัว    ออกไข่วันละ  1 ฟอง  ฟาร์มนี้เลี้ยงเป็ดทั้งหมดกี่ตัว

วิธีทำ    ให้ฟาร์มนี้มีเป็ด      a    ตัว

280/a  =  80/100

a        =   ( 280  x  100)/  80

a        =   350

ดังนั้น  ฟาร์มนี้เลี้ยงเป็ดไว้ทั้งหมด   350  ตัว

ที่มา :  http://wbi.herobo.com/content01.php